Übungsblatt 15 Analysis 2

Aufgabe 15.1.
Sei \((M,d)\) ein metrischer Raum. Beweisen Sie folgende Aussagen.

(a) Für alle \(a,b,c,d\in M\) gilt die Ungleichung \[|d(a,b)-d(c,d)| \le
d(a,c)+d(b,d).\] (b) Seien \((x_n)\) und \((y_n)\) Folgen in \(M\), die bezüglich \(d\) gegen Grenzwerte \(x=\lim_{n\to\infty}x_n\) und \(y=\lim_{n\to\infty}y_n\) konvergieren. Dann gilt \[\lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n)=d(x,y).\]

Lösung 15.1.
(a) Zweimalige Anwendung der Dreiecksungleichung liefert \[d(a,b)\le d(a,c)+d(c,d)+d(d,b)\] und damit die Ungleichung \[d(a,b)-d(c,d)\le d(a,c)+d(d,b).\] Wiederum zweimalige Anwendung der Dreiecksungleichung liefert ebenso \[d(c,d)\le d(c,a)+d(a,b)+d(b,d)\] und damit die Ungleichung \[d(c,d)-d(a,b)\le d(a,c)+d(b,d).\] In der Zusammenschau ergibt sich die behauptete Ungleichung.
(b) Nach Voraussetzung gilt \[\lim_{n\to\infty} d(x_n,x)=\lim_{n\to\infty} d(y_n,y)=0.\] Die obige Ungleichung impliziert für jedes \(n\in \mathbb N\) die Ungleichung \[|d(x_n,y_n)-d(x,y)|\le d(x,x_n)+d(y,y_n).\] Für den Grenzwert gilt folglich \[\begin{aligned}0&\le \lim_{n\to \infty}|d(x_n,y_n)-d(x,y)|\\ &\le \lim_{n\to\infty}\left(d(x,x_n)+d(y,y_n)\right)\\ &=
\left(\lim_{n\to\infty}d(x,x_n)\right)+\left(\lim_{n\to\infty}d(y,y_n)\right)\\ &=0.\end{aligned}\]

Aufgabe 15.2.
Sei \(p\) eine Primzahl. Für rationale Zahlen \(r\in\mathbb Q\) definieren wir den p-adischen Betrag \(|r|_p\) wie folgt: Für \(r=0\) setzen wir \(|0|_p=0\). Jedes \(r\neq0\) hat eine eindeutig bestimmte Darstellung der Form \(r=\frac{a}{b}p^n\) wobei \(n\in\mathbb Z\) und \(\frac{a}{b}\) ein gekürzter Bruch ist, in dem weder \(a\) noch \(b\) durch \(p\) teilbar sind. Wir setzen \(|r|_p=p^{-n}\). Ferner definieren wir die p-adische Metrik auf \(\mathbb Q\) durch \[d_p(r,s)=|s-r|_p.\] (a) Zeigen Sie, dass \(d_p\) tatsächlich eine Metrik auf \(\mathbb Q\) ist und dass die Dreiecksungleichung in verschärfter Form gilt: \[d_p(q,s)\le \max\{d_p(q,r),\, d_p(r,s)\}\quad\text{für \(q,r,s\in\mathbb Q\).}\] (b) Zeigen Sie, dass die Folge \((s_n)_{n\in \mathbb N}\) mit \(s_n=\sum_{k=0}^n 2026^k\) bezüglich der Metrik \(d_{1013}\) in \(\mathbb Q\) konvergiert. Bestimmen Sie den Grenzwert.

Lösung 15.2.
(a) Definitheit und Symmetrie sind offensichtlich. Die angegebene verschärfte Dreiecksungleichung folgt aus der Ungleichung \(|r\pm s|_p\le\max\{|r|_p,|s|_p\}\). Ist eine der beiden Zahlen gleich \(0\), so ist die Gleichung offensichtlich erfüllt. Ansonsten sind die beiden rationalen Zahlen von der Form \(r=\frac{a}bp^n\) und \(s=\frac{c}dp^{n+k}\) mit zu \(p\) teilerfremden ganzen Zahlen \(a,b,c,d\). Ohne Einschränkung gilt \(k\ge 0\). Es ist \[r\pm s =\frac{ad\pm bcp^k}{bd}p^n.\] Der Nenner im Bruch ist zu \(p\) teilerfremd. Der Zähler ist eine ganze Zahl. Es gilt also \[|r-s|_p\le p^{-n}=\max\{p^{-n},p^{-n-k}\}=\max\{|r|_p,|s|_p\}.\] Es folgt \[d_p(q,s)=|q-s|_p=|(q-r)+(r-s)|_p\le \max\{|q-r|_p,|r-s|_p\}=\max\{d_p(q,r),d_p(r,s)\}.\]
(b) Es gilt \[\sum_{k=0}^n2026^k=\frac{1-2026^{n+1}}{1-2026}=\frac1{1-2026}-\frac{2026^{n+1}}{1-2026}.\] Wegen \[\lim_{n\to \infty}\left|\frac{2026^{n+1}}{1-2026}\right|_{1013}=\lim_{n\to\infty}\frac1{1013^{n+1}}=0\] konvergiert die Reihe gegen \[\frac{-1}{2025}.\]

Aufgabe 15.3.
Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz. \[ (a)
\quad \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx \hspace{20mm} (b) \quad \int_e^\infty
\frac{\log(x)^n}{x}dx \;\; (n\in\mathbb Z)\]

Lösung 15.3.
(a) Die Funktion \(\frac{\sin(x)}{x}\) ist stetig nach \(0\) fortsetzbar: Nach der Regel von l'Hôpital gilt \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}x=\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)}1=1.\] Es bezeichne \[b_n:=\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}\frac{\sin(x)}{x}\,dx.\] Wegen \(\sin(x)\le x\) für \(x\ge 0\) gilt \(b_1\le \pi\) und allgemein \(|b_n|\le \frac{\pi}{(n-1)\pi}=\frac1{n-1}\) für \(n\gt 1\). Die Folge \((b_n)_{n}\) ist eine alternierende, betragsmäßig monoton fallende Folge. Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert die Reihe \[\sum_{n=1}^\infty b_n=\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \,dx.\]
(b) Die Substitution \(y=\log x\) liefert \[\begin{aligned}\int_e^\infty \frac{\log(x)^n}{x}dx & =\int_1^\infty y^n\,dy\\ &=\begin{cases}\left[\frac1{n+1}y^{n+1}\right]_1^\infty&\text{ für } n\not=-1\\ \left[\log y\right]_1^\infty& \text{ für } n=-1\end{cases}\\
&=\begin{cases}\infty&\text{ für } n\ge -1\\ \frac1{n+1}&\text{ für } n\lt 1.
\end{cases}
\end{aligned}\]