Musterlösungen Übungsblatt 17

Aufgabe 17.1.
Sei \((X,d)\) ein vollständiger metrischer Raum und \(M\subset X\) eine Teilmenge. Durch Einschränkung der Metrik wird \((M,d)\) zu einem metrischen Raum. Es bezeichne \((\widehat M,\widehat d)\) die Vervollständigung von \((M,d)\) und \(\overline{M}\) den Abschluss von \(M\) in \(X\). Konstruieren Sie stetige Abbildungen \[ \alpha\colon (\widehat M,\widehat d) \to (\overline
M, d) \quad\text{und}\quad \beta\colon (\overline M, d) \to (\widehat
M,\widehat d), \] die zueinander invers sind (d.h. es gilt \(\beta\circ \alpha
= \mathrm{id}_{\widehat M}\) und \(\alpha\circ\beta = \mathrm{id}_{\overline
M}\)).

Lösung 17.1.
Die Inklusion \(a\colon M\to X\) ist metrikerhaltend und folglich gleichmäßig stetig. Die universelle Eigenschaft der Vervollständigung liefert eine gleichmäßig stetige Abbildung \(\widehat{a}\colon \widehat{M}\to X\). Zu zeigen ist, dass das Bild dieser Abbildung in \( \overline{M}\) enthalten ist und folglich \(\widehat{a}\) eine gleichmäßig stetige Abbildung \(\alpha\colon \widehat{M}\to\overline{M}\) beschreibt.

Argumentation via Cauchy-Folgen: Sei \(\widehat{m}\in\widehat{M}\) gegeben als Äquivalenzklasse einer Cauchy-Folge \((m_n)_n\) in \(M\). Dann ist \(\left(a(m_n)\right)_n\) eine Cauchy-Folge in \(X\), die gegen einen Grenzwert in \(X\) konvergiert. Dieser Grenzwert einer Cauchy-Folge in \(M\) liegt aber immer in \(\overline{M}\). Also gilt \(\alpha(\widehat{M})\subseteq \overline{M}\).

Argumentation via Filter: Sei \(\widehat{m}\in\widehat{M}\) repräsentiert als ein Cauchy-Filter \(F\) und \(a_*F\) der Bildfilter. Da \(a\) gleichmäßig stetig ist, ist dies ein Cauchy-Filter in \(X\) und enthält wegen der Vollständigkeit von \(X\) den Umgebungsfilter eines Punktes \(x\in X\). Wäre \(x\in X\setminus\overline{M}\), so wäre \(X\setminus\overline{M}\) eine Umgebung von \(x\) und folglich enthalten im Bildfilter \(a_*F\). Andererseits gilt \(a(M)=M\in a_*F\). Diese beiden Mengen haben allerdings leeren Durchschnitt und können damit nicht gleichzeitig in einem Filter enthalten sein. Folglich gilt \(\alpha(\widehat{M})\subseteq\overline{M}\).

Aufgabe 17.2.
Es sei \(B([a,b])\) die Menge der beschränkten Funktionen \(f\colon[a,b]\to\mathbb R\) versehen mit der Supremumsmetrik \( d_\infty(f,g)=\sup_{x\in[a,b]}|f(x)-g(x)|\).

(a) Zeigen Sie, dass \((B([a,b]),d_\infty)\) vollständig ist.

(b) Zeigen Sie, dass die Menge der stetigen Funktionen \(C([a,b])\) eine abgeschlossene Teilmenge von \((B([a,b]),d_\infty)\) ist.

Lösung 17.2.

Aufgabe 17.3.
Sei \(d(x,y)=|x-y|\) die übliche Metrik auf \(\mathbb R\). Durch den Ausdruck \[\delta(x,y) = 1 - \left|1 - \Big| \frac{x}{1+|x|} -
\frac{y}{1+|y|}\Big|\right|\] wird eine weitere Metrik definiert. (Dies müssen Sie nicht beweisen!)

(a) Zeigen Sie, dass eine Teilmenge \(U\subset\mathbb R\) genau dann offen bezüglich \(d\) ist wenn sie offen bezüglich \(\delta\) ist. Mit anderen Worten, die Metriken \(d\) und \(\delta\) induzieren die gleiche Topologie auf \(\mathbb R\).

(b) Bekanntermaßen ist \(\mathbb R\) bezüglich \(d\) vollständig. Ist dies auch für \(\delta\) der Fall?

Lösung 17.3.