Musterlösungen Übungsblatt 22

Aufgabe 22.1.
Zeigen Sie, dass das Einheitsintervall \([0,1]\subset\mathbb R\) zusammenhängend ist. 

Lösung 22.1.
Angenommen, das Einheitsintervall besitze zwei nicht-leere, disjunkte offene Mengen \(U\) und \(V\) mit \(U\cup V=[0,1]\). Dann wäre die Abbildung \(f\colon [0,1]\to \mathbb R\) mit \[f(x)=\begin{cases} 1&\text{ falls } x\in U\\ -1&\text{ falls } x\in V\end{cases}\] stetig und widerspräche dem Zwischenwertsatz.

Aufgabe 22.2.
Sei \(f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R\) differenzierbar und homogen vom Grad \(m\), d.h. es gibt ein \(m\in\mathbb N\), so dass \(f(tx)=t^mf(x)\) für alle \(x\in\mathbb R^n\) und \(t\in\mathbb R\setminus\{0\}\). Zeigen Sie, dass die "Eulersche Relation"\[x_1\frac{\partial f}{\partial x_1} +\dots+ x_n\frac{\partial f}{\partial x_n} = m\,f(x_1,\dots,x_n)\] erfüllt ist. Ist umgekehrt jede differenzierbare Funktion, für die die Eulersche Relation gilt, homogen?

Lösung 22.2.
Es sei \(f\) eine homogene Funktion vom Grad \(m\). Für ein fixiertes \(x=(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb R^n\) gilt \[\sum_{i=1}^nx_i\partial_if(x)=\frac{d}{dt}f(tx)|_{t=1}= \frac{d}{dt} t^m|_{t=1}f(x)=mt^{m-1}f(x)|_{t=1}=mf(x).\] Sei umgekehrt eine differenzierbare Funktion \(f\colon \mathbb R^n\to\mathbb R\) gegeben, für die die Eulersche Relation gilt. Für fixiertes \(x\in\mathbb R^n\) definieren wir die Funktion \(g\colon \mathbb R_{\gt 0}\to \mathbb R,\quad t\mapsto f(tx)\). Die Ableitung dieser Funktion ist
\[g'(t)=\sum_{i=1}^nx_i\partial_if(tx)=\frac{m}tf(tx)=\frac{m}tg(t).\] Ist \(f(x)=0\), so gilt \(g(t)=0\) für alle \(t\). Ansonsten gilt für die logarithmische Ableitung von \(g\) \[\log(g(t))'=\frac{g'(t)}{g(t)}=\frac{m}t.\] Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gibt es eine Konstante \(c\) mit \[\log(g(t))=m\log(t) + c\] und folglich \[g(t)=t^m\cdot \exp(c).\] Für \(t=1\) lässt sich die Konstante bestimmen: \(\exp(c)=f(x)\). Es folgt \(f(tx)=t^mf(x)\).

Aufgabe 22.3.
Seien \(E\) und \(F\) Banach-Räume über \(\mathbb K\) und \(X\subset E\) offen. 

(a) Beweisen Sie die Quotientenregel: Für differenzierbare \(f,g\colon X\to\mathbb K\) mit \(g(x)\ne0\) für alle \(x\in X\) ist auch \(\tfrac fg\) differenzierbar und es gilt \[d\left(\frac fg \right) = \frac1g\, df -\frac f{g^2}\, dg.\]

(b) Beweisen Sie folgende Variante der Leibniz Regel: Seien \(f\colon X\to F\) und \(\rho\colon X\to\mathbb K\) differenzierbar. Dann ist auch die durch punktweise Skalarmultiplikation gegebene Abbildung \(\rho f\colon X\to F\) differenzierbar und für \(x\in X\) und \(v\in E\) gilt \[\partial\big(\rho f\big) (x)\, v  = \rho(x)\, \big(\partial f(x)\, v\big) + \big(d\rho(x)\, v\big)\,  f(x).\]

Lösung 22.3.

(a) Die Funktion \(\frac{f}g\) ist die Komposition \(\frac{f}g=q\circ F\) der beiden differenzierbaren Abbildungen \(F\colon X\to \mathbb R\times \mathbb R^\times; x\mapsto \left(f(x),g(x)\right)\) und \(q\colon \mathbb R\times \mathbb R^\times\to \mathbb R; (y,z)\mapsto \frac{y}z\) und folglich differenzierbar. Die Formel \[d\left(\frac fg \right) = \frac1g\, df -\frac f{g^2}\, dg\] folgt aus der Kettenregel.

(b) Die Abbildung \(\rho f\) ist die Komposition der diffbaren Abbildung \(G\colon X\to \mathbb R\times F; x\mapsto (\rho(x),f(x))\) mit der bilinearen und folglich differenzierbaren Abbildung \(b\colon \mathbb R\times F\to F; (r,u)\mapsto ru\). Die Formel folgt aus der Kettenregel.