Musterlösungen Übungsblatt 23

Aufgabe 23.1.
Betrachten sie für reelles \(t\ge0\) die Funktionen \(f_t,g_t\colon\mathbb C\to\mathbb C\) gegeben durch \[f_t(z)=z^2+t\, z \quad\quad\text{und}\quad\quad g_t(z)=z^2+t\,\bar z.\] 

(a) Für welche \(t\ge0\) sind \(f_t\) bzw. \(g_t\) komplex differenzierbar? Bestimmen Sie gegebenenfalls die Nullstellen der komplexen Ableitung.

(b) Als Abbildungen \(\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) sind sowohl \(f_t\) als auch \(g_t\) offenbar reell differenzierbar.  Bestimmen Sie jeweils die Menge der Punkte, an denen die Jacobi Matrix nicht vollen Rang hat. Skizzieren Sie sowohl diese Menge als auch ihr Bild unter der jeweiligen Abbildung.

Lösung 23.1.
(a) Die Abbildung \(f_t\) ist für alle \(t\) komplex differenzierbar: Es gilt \[f'(z)=\lim_{h\to 0}\frac{f_t(z+h)-f_t(z)}h=\lim_{h\to 0}\frac{z^2+2hz+h^2+tz+th-z^2-tz}h=
\lim_{h\to 0}(2z+h+t)=2z+t.\] Die Abbildung \(g_t\) ist offenbar für \(t=0\) komplex differenzierbar, jedoch nicht im Falle \(t\not=0\): Es gilt \[\frac{g_t(z+h)-g_t(z)}h=\frac{z^2+2hz+h^2+t\bar{z}+t\bar{h}-z^2-t\bar{z}}h=z+t+h+t\frac{\bar{h}}h.\] Der Term \(\frac{\bar{h}}h\) oszilliert für \(h\) gegen \(0\) auf dem Einheitskreis, besitzt insbesondere keinen Grenzwert.
Die Ableitung der Funktion \(f_t\) hat bei \(z=-\frac{t}2\) eine Nullstelle, die Ableitung der Funktion \(g_0\) bei \(z=0\).

(b) Als reelle Abbildung wird \(f_t\) beschrieben durch \((x,y)\mapsto (x^2-y^2+tx, 2xy+ty)\). Die Jacobi Matrix \[Df_t=\left(\begin{matrix}2x+t&-2y\\2y&2x+t\end{matrix}\right)\] mit Determinante \(\det\,Df_t=(2x+t)^2+(2y)^2\) hat Rang 0 für \((x,y)=(-\frac{t}2,0)\) und ansonsten maximalen Rang 2.
Als reelle Abbildung wird \(g_t\) beschrieben durch \((x,y)\mapsto (x^2-y^2+tx, 2xy-ty)\). Die Jacobi Matrix \[Dg_t=\left(\begin{matrix}2x+t&-2y\\2y&2x-t\end{matrix}\right)\] mit Determinante \(\det\,Dg_t=(2x)^2+(2y)^2-t^2\) hat Rang 0 für \(t=0\) und \((x,y)=(-\frac{t}2,0)\), Rang 1 für \(t\not=0\) und \(x^2+y^2=\frac{t^2}4\) und ansonsten maximalen Rang 2. Die Menge der Punkte, an denen die Jacobische von \(g_t\) nicht vollen Rang besitzt, bildet einen Kreis um den Ursprung mit Radius \(\frac{t}2\).

Aufgabe 23.2.
In der klassischen Vektoranalysis betrachtet man für differenzierbare Funktionen \(\phi\colon\mathbb R^3\to\mathbb R\) und Vektorfelder \(V=(V_1,V_2,V_3)\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^3\) die Differentialoperatoren \[
\mathrm{grad}\, = \begin{pmatrix} \partial_1\phi \\ \partial_2\phi \\ \partial_3\phi \end{pmatrix} \hspace{25pt}
\mathrm{rot}\, = \begin{pmatrix} \partial_2V_3-\partial_3V_2 \\ \partial_3V_1-\partial_1V_3 \\ \partial_1V_2-\partial_2V_1 \end{pmatrix} \hspace{25pt}
\mathrm{div}\, = \partial_1V_1 + \partial_2V_2 + \partial_3 V_3
\] genannt Gradient, Rotation und Divergenz. Hierbei sind \(\partial_1,\partial_2,\partial_3\) die partiellen Ableitungen in \(\mathbb R^3\).

(a) Beweisen Sie die Identitäten \(\mathrm{rot}\,\mathrm{grad}\,\phi=0\) und \(\mathrm{div}\,\mathrm{rot}\,V=0\). 

(b) Berechnen Sie die Rotation und Divergenz des Vektorfelds \(V(x)=r^k\,x\), wobei \(r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\) und \(k\in\mathbb Z\). Gibt es eine Funktion \(\phi\colon\mathbb R^3\to\mathbb R\) mit \(\mathrm{grad}\,\phi=V\)?

Lösung 23.2.
(a) Die beiden Identitäten folgen aus dem Satz von Schwarz: \[\mathrm{rot}\circ\mathrm{grad}\, \phi=\mathrm{rot}\left(\begin{matrix}\partial_1\phi\\\partial_2\phi\\\partial_3\phi\end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix}\partial_2\partial_3\phi-\partial_3\partial_2\phi\\ \partial_3\partial_1\phi-\partial_1\partial_3\phi\\ \partial_1\partial_2\phi-\partial_2\partial_1\phi\end{matrix}\right)=0,\]
\[\mathrm{div}\circ\mathrm{rot}\, V=\partial_1\left(\partial_2 V_3-\partial_3 V_2\right)+\partial_2\left(\partial_3 V_1-\partial_1 V_3\right)+\partial_3\left(\partial_1 V_2-\partial_2 V_1\right)=0.\]

(b) Aus den Identitäten \[\partial_i\,r=\frac{x_i}r\quad\text{und}\quad \partial_i\,r^k=kr^{k-2}x_i,\] sowie der Leibniz-Regel folgen \[
\begin{aligned}\mathrm{div}\,V &=
\sum_{i=1}^3 \partial_i\left(r^kx_i\right)
=\sum_{i=1}^3 \left(\partial_i\left(r^k\right)x_i+r^k\right)=3r^k+ \sum_{i=1}^3 \left(kr^{k-2}x_i^2\right)
=(3+k)r^k\\
\mathrm{rot}\,V&=\left(\begin{matrix} \partial_2(r^kx_3)-\partial_3(r^kx_2)\\ \partial_3(r^kx_1)-\partial_1(r^kx_3)\\ \partial_1(r^kx_2)-\partial_2(r^kx_1)
\end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix} kr^{k-2}x_2x_3-kr^{k-2}x_3x_2\\ kr^{k-2}x_3x_1-kr^{k-2}x_1x_3\\ kr^{k-2}x_1x_2-kr^{k-2}x_2x_1
\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\0 \end{matrix}\right) \end{aligned}\] Für die Funktion \(\phi=\frac1{k+2}r^{k+2}\) gilt offenbar
\[\mathrm{grad}\,\phi=\mathrm{grad}\left(\frac1{k+2}r^{k+2}\right)=r^kx=V.\]

Aufgabe 23.3.
Beweisen Sie folgende Bemerkungen aus der Vorlesung.

(a) Seien \(E_1,\dots,E_n\) und \(F\) Banach-Räume. Dann wird auf \(\mathcal L(E_1,\ldots,E_n;F)\) durch \[\|\phi\|_{op}:=\inf\left\{\alpha\gt 0 \quad\big|\quad \|\phi(x_1,\ldots,x_n)\|\le \alpha \prod_{k=1}^n\|x_k\|\right\}\] eine Norm beschrieben, die \(\mathcal L(E_1,\ldots,E_n;F)\) zu einem Banach-Raum macht.

(b) Falls \(E_1,\dots,E_n\) allesamt endlich dimensional sind, so ist jede \(n\)-lineare Abbildung \(\phi\colon E_1\times\dots\times E_n\to F\) stetig.

Lösung 23.3.
(a) Zuerst einmal bilden die \(n\)-linearen Abbildungen einen Vektorraum: Summen und skalare Vielfache von \(n\)-linearen Abbildungen sind wieder \(n\)-linear. Die Eigenschaften einer Norm lassen sich sich wie folgt nachprüfen:
1. Positivität: Zu zeigen ist, dass aus \(\|\phi\|=0\) folgt \(\phi=0\). Angenommen, dies sei nicht der Fall. Dann gibt es ein \(n\)-Tupel von Vektoren \(x_i\in E_i\) mit \(\phi(x_1,\ldots, x_n)\not=0\). D und folglich \(\|\phi(x_1,\ldots, x_n)\|\gt 0\) und folglich \(\|\phi\|_{op}\not=0\).
2. Skalare Vielfache: Die Gleichung \(\|\lambda\phi\|=|\lambda|\cdot \|\phi\|\) ist offensichtlich.
3. Dreiecksungleichung: Die Dreiecksungleichung gilt für lineare Abbildungen. Da eine \(n\)-lineare Abbildung linear in jedem Eintrag ist, gilt sie auch für \(n\)-lineare Abbildungen.
Zu zeigen bleibt die Vollständigkeit. Diese folgt wiederum aus der Linearität für jeden Eintrag und der Tatsache, dass die stetigen linearen Abbildungsräume in Banachräume vollständig sind.

(b) Sind die Räume endlich dimensional, so ist jede \(n\)-lineare Abbildung vollständig bestimmt durch ihre Werte auf \(n\)-Tupeln von Basisvektoren. Das sind allerdings endlich viele. Infimum und Supremum von endlich vielen positiven Zahlen ist positiv, nicht Null und nicht unendlich. Die Aussage folgt.