Musterlösungen Übungsblatt 25

Aufgabe 25.1.
Sei $X\subset \mathbb R^n$ offen und $f\in C^1(X,\mathbb R^k)$. Zeigen Sie:

(a) Falls $\partial f(x_0)\in\mathcal L(\mathbb R^n,\mathbb R^k)$ für ein $x_0\in X$ injektiv ist, so gibt es eine offene Umgebung $U\subset X$ von $x_0$, so dass $f\colon U\to \mathbb R^k$ injektiv ist.

(b) Falls $\partial f(x_0)\in\mathcal L(\mathbb R^n,\mathbb R^k)$ für ein $x_0\in X$ surjektiv ist, so gibt es offene Umgebungen $U\subset X$ von $x_0$ und $V\subset \mathbb R^k$ von $f(x_0)$, so dass $f\colon U\to V$ surjektiv ist.

Lösung 25.1.

Aufgabe 25.2.
Sei $B$ ein offener Ball vom Radius $r\gt 0$ um einen Punkt $x_0$ in einem Banach-Raum $E$ und $f\colon B\to E$ zweimal stetig differenzierbar. Ferner sei $\partial f(x)\in\mathcal Lis(E,E)$ für alle $x\in B$ und es gelte \[\sup_{x\in B}\lVert \partial f(x)^{-1}\rVert_{op}\le C\quad\text{und}\quad \sup_{x\in B}\lVert \partial^2 f(x)\rVert_{op}\le C\] für ein $C\ge1$. Weisen Sie die Existenz eines nur von $C$ abhängigen $\delta\gt0$ mit folgender Eigenschaft nach: Ist $f(x_0)\le\delta$, so konvergiert die rekursiv definierte Folge $$x_{n+1} = x_n - \partial f(x_n)^{-1}f(x_n)$$ gegen ein $x \in B$ mit $f(x)=0$. Zeigen Sie dazu die Abschätzungen $$\lVert x_{n+1}-x_n\rVert \le C\lVert f(x_n)\rVert \quad\text{und}\quad \lVert f(x_{n+1})\rVert\le C\lVert x_{n+1}-x_n\rVert^2.$$

Lösung 25.2.

Aufgabe 25.3.
Beweisen Sie folgende Bemerkung aus der Vorlesung: Für $i=1,2$ seien $E_i$ Banach-Räume, $X_i\subset E_i$ offen und $f\colon X_1\times X_2\to F$ eine Abbildung in einen weiteren Banach-Raum $F$. Es gilt $f\in \mathcal C^q(X_1\times X_2,F)$ genau dann, wenn $D_jf\in \mathcal C^{q-1}(X_1\times X_2,\mathcal L(E_j,F))$ für $j\in \{1,2\}$. Ferner gilt für die Ableitungen $$\partial f (x_1,x_2)(h_1,h_2)=D_1f(x_1,x_2)h_1+ D_2f(x_1,x_2)h_2$$ für alle $x_i\in X_i$ und $h_i\in E_i$.

Lösung 25.3.

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